avatar science-news

Новости науки и техники



подробнее...

Следить за персональным блогом


Автоматизированная система Промышленная безопасность и охрана труда

Обновления главной ленты блогов
Вконтакте Facebook Twitter RSS Почта Livejournal
Внимание

На нашем портале можно бесплатно публиковать информацию о своей компании, размещать товары и услуги и цены на них.
Ведите свой личный или корпоративный блог и его ежедневно увидят 30 тысяч посетителей нашего сайта.

27 ноября 2018, 15:50

Главы | Софья Ковалевская


Главы | Софья Ковалевская

Отрывок из книги Иэна Стюарта «Значимые фигуры» о первой женщине-академике, формулах на обоях, нигилизме и кольцах Сатурна

Главы | Софья Ковалевская

Отрывок из книги Иэна Стюарта «Значимые фигуры» о первой женщине-академике, формулах на обоях, нигилизме и кольцах Сатурна

Совместно с издательством «Альпина нон-фикшн» публикуем главу из книги Иэна Стюарта «Значимые фигуры» о жизни и открытиях великих математиков от Архимеда до Уильяма Тёрстона. Перевод с английского Натальи Лисовой.

Главы | Софья Ковалевская

Софья Васильевна Ковалевская (урожденная Корвин-Круковская) Родилась: Москва, Россия, 15 января 1850 г. Умерла: Стокгольм, Швеция, 10 февраля 1891 г.

С раннего детства маленькая Софа, как любя звали ее в семье, испытывала страстное желание понять все то, что привлекало ее внимание. Интерес к математике пробудился у нее в 11 лет; примечательно, что поводом к этому стали обои на стенах ее детской. Отец Софьи Василий Корвин-Круковский был генерал-лейтенантом артиллерии в Российской императорской армии, а мать Елизавета (урожденная Шуберт) происходила из семьи, занимавшей весьма высокое положение среди российской аристократии. Семья Корвин-Круковских владела поместьем Палабино под Санкт-Петербургом. При переезде в Палабино в доме был произведен ремонт, но на детскую обоев не хватило, и взамен были использованы листы какого-то старого учебника; им оказался курс лекций по дифференциальному и интегральному исчислению профессора Остроградского. В автобиографических «Воспоминаниях детства» Софья вспоминала, как часами разглядывала стены, пытаясь разгадать смысл покрывавших их загадочных символов. Она быстро запомнила формулы, да и текст тоже, но позже признавалась, что «в самый момент прочтения он и остался для меня непонятным».

Рекомендуем по этой теме:

Главы | Софья Ковалевская

Дифференциальная геометрия

Математик Максим Казарян о римановых пространствах, гауссовой кривизне и фробениусовых многообразиях

Надо сказать, что у девочки к тому моменту уже имелся опыт подобного самообразования. В то время не принято было учить грамоте маленьких детей, но Софа отчаянно хотела научиться читать. В шесть лет она самостоятельно заучивала буквы по газетам, а затем приставала к кому-нибудь из взрослых с просьбой сказать, что эта буква значит. Своим новым умением малышка похвасталась перед отцом, и тот, хотя сперва и отнесся к словам девочки с недоверием — подумал, что она просто заучила на память несколько предложений, — вскоре убедился в том, что дочь говорит правду. Он очень гордился ее умом и инициативой.

Когда обои в спальне Софьи пробудили в ней ни на чем, казалось бы, не основанный интерес к математике, ее прогрессивная для того времени семья не стала отговаривать девочку и тем более запрещать ей что-то, хотя многие в их социальном кругу ни при каких обстоятельствах не сочли бы математику занятием, приличествующим девице из хорошей семьи. Обстоятельства сложились так, что у Софьи была возможность удовлетворить свою страсть. Математика была одним из любимых предметов ее отца, а Софа — любимой дочерью. Дед Софы по матери Федор Федорович Шуберт был военным топографом, а его отец Федор Иванович Шуберт — ведущим астрономом и членом Академии наук. Так что математика была у Софьи в крови (если воспользоваться тогдашним представлением о наследственности). Более того, ее семья давно уже вращалась в среде математиков, и это, вполне возможно, оказало куда более серьезное влияние.

Решив начать с основ, генерал в первую очередь позаботился о том, чтобы наставники Софьи учили ее арифметике. Но, когда он спросил у дочери, нравятся ли ей уроки, первая реакция девочки была весьма прохладной: это же не дифференциальное исчисление. Ее отношение изменилось, когда она наконец поняла, что без основ ей никогда не постичь тех завораживающих уравнений на обоях. Так и вышло: Софья не только овладела дифференциальным и интегральным исчислением, но и добралась до переднего края математических исследований, делая при этом открытия, поражавшие ведущих математиков того времени. Она занималась дифференциальными уравнениями в частных производных, механикой и преломлением света в кристаллах. У нее вышло всего десять математических публикаций, причем одна из этих десяти — перевод на шведский язык, но все ее публикации были выдающегося качества. В них были проницательность, оригинальность и техническое мастерство. Видный американский математик Марк Кац говорил о Софье как о «первой гранд-даме математики». Многие считают ее величайшей женщиной-ученым своего времени и убеждены, что только Марии Кюри через несколько десятилетий удалось затмить ее в этом качестве.

***

Софья родилась в Москве в 1850 г. У нее была старшая сестра Анна (в семье ее звали Анютой), которую она обожала; позже в семье появился еще младший брат Федор.

Дядя Софьи Петр Васильевич Круковский интересовался математикой и часто говорил о ней с девочкой — задолго до того, как она стала понимать, о чем он говорит.

В 1853 г., когда Софье было три года, Россия оказалась втянута в Крымскую войну. Формально причиной конфликта были права христианских меньшинств в Святой земле, но Франция и Великобритания были полны решимости не дать России взять под свой контроль земли слабеющей Османской империи. К 1856 г., после осады Севастополя, альянс Франции, Великобритании, Сардинии и турок нанес России поражение. Такое унижение стало поводом для массового общественного недовольства в России. Крестьяне и либералы восставали против жестокой государственной системы, в которой они чем дальше, тем больше видели лишь коррупцию и некомпетентность.

Правительство отвечало цензурой и репрессиями царской тайной полиции. Многие аристократы в России владели обширными сельскими поместьями, но редко бывали там, предпочитая Санкт-Петербург, где бурлила политическая жизнь и светские развлечения. Теперь же благоразумие требовало, чтобы даже люди с либеральными наклонностями больше времени проводили в деревне и больше внимания обращали на жалобы и обиды своих работников.

Так что в 1858 г. генерал Корвин-Круковский сообщил жене, что долг требует переехать в имение.

Поначалу Софью и ее старшую сестру Анюту не загружали учебой; они гуляли, исследовали местность и частенько попадали в различные неприятные истории. Но, после того как они умудрились попробовать какие-то несъедобные ягоды и несколько дней провалялись больные, отец нанял им наставника-поляка Йозефа Малевича и строгую английскую гувернантку Маргариту Смит, которую девочки сразу же невзлюбили. Малевич дал Софье основы образования, приличествующего молодой женщине, включая арифметику, а дядя Петр познакомил ее с кое-какими тайнами более продвинутой математики: он говорил с ней о таких вещах, как квадратура круга (построение квадрата той же площади, что у заданного круга; на самом деле это невозможно сделать при помощи традиционных геометрических инструментов, линейки и циркуля) и асимптоты (прямые, к которым кривая может подойти бесконечно близко, но так никогда и не достигнет). Эти концепции будили воображение девочки.

Со временем мисс Смит уволилась, и в семье Корвин-Круковских воцарился мир. В 1864 г. Анюта направила два рассказа Федору и Михаилу Достоевским; рассказы были напечатаны в их журнале «Эпоха». Анюта начала тайную переписку с Федором; отец сначала возражал, но потом смягчился, и Федор Достоевский стал вхож в семью. Софья погрузилась в водоворот светской жизни, где можно было встретить и других известных людей. Какое-то время она даже испытывала к Достоевскому девическую влюбленность, и, когда Федор сделал предложение Анюте, Софья пришла в ярость — тем более что сестра ему отказала.

Примерно в это же время Софья погрузилась и в математические загадки обоев своей детской спальни — и одна из нитей ее будущей жизни определилась. Сосед Корвин-Круковских Николай Тыртов, профессор физики в Военно-морской академии Санкт-Петербурга, принес ей свой учебник по вводному курсу физики. Не владея тригонометрией, Софья сражалась с непонятными формулами, пока не нашла интуитивно более понятную геометрическую аппроксимацию — по существу, все тот же классический вариант с хордой окружности. Такая демонстрация способностей произвела на Тыртова большое впечатление, и он попытался убедить генерала, чтобы тот позволил дочери изучать высшую математику.

***

Рекомендуем по этой теме:

Главы | Софья Ковалевская

Феминизм: история и основные движения

Что такое феминизм, когда женщины начали бороться за равные права и почему феминизм существует до сих пор

В то время в России женщинам не разрешалось учиться в университетах, но, имея письменное согласие отца или мужа, они могли учиться за границей. Поэтому Софья заключила «фиктивный брак» с Владимиром Ковалевским — молодым студентом-палеонтологом. Такой фокус — брак по договоренности без реальных близких отношений — был довольно распространен в то время среди образованных русских женщин как способ добиться некоторой свободы. К досаде Софьи, отец предложил отложить свадьбу.

С типичным для нее упрямством девушка дождалась, когда в доме соберутся к обеду известные гости, и потихоньку улизнула, оставив записку; в ней говорилось, что она отправилась одна к Владимиру на квартиру и останется там, пока они не получат разрешения на брак. Чтобы избежать светского скандала, отец на все согласился и, как положено, представил дочь и жениха гостям. Софья планировала выйти замуж, затем бросить Владимира и жить собственной жизнью, но Владимир без памяти влюбился в свою будущую жену (и в ее социальный круг) и вовсе не хотел расставаться с ней. Они поженились в 1868 г., когда Софье было 18 лет; с этого момента она стала Софьей Ковалевской.

По политическим взглядам Ковалевская, как многие русские в то время, была нигилисткой, то есть отвергала любые условности, не имевшие рационального объяснения; многие нигилисты считали, что к числу таких условностей относятся правительство и закон. Владимир Ленин, цитируя критика-радикала Дмитрия Писарева, отразил настроение эпохи — крайнюю форму социал-дарвинизма, которую недовольные бросали в лицо богатым и облеченным властью, нередко обосновывавшим свои привилегии примерно так же: «Ломай, бей все, бей и разрушай! Что сломается, то все хлам, не имеющий права на жизнь, что уцелеет, то благо». Вскоре после того, как новобрачные прибыли в Санкт-Петербург, их квартира стала настоящим клубом для единомышленников-нигилистов.

В 1869 г. Ковалевские уехали из России — сначала в Вену. Издательский бизнес Владимира рухнул, и он спасался от кредиторов; кроме того, оба жаждали более интеллектуальной атмосферы. Владимир хотел изучать геологию и палеонтологию. Ковалевская — к собственному удивлению — получила разрешение посещать в университете лекции по физике, однако получить математическое образование здесь возможности не было, поэтому супруги переехали в Гейдельберг. Поначалу руководство университета дало Софье от ворот поворот — решив, судя по всему, что она вдова, и смутившись, когда выяснилось, что она замужем, — но в конце концов удалось договориться, что Софья сможет посещать лекции, если профессор не будет против. Вскоре она уже проводила по 20 часов в неделю на лекциях, которые читали такие математики, как Лео Кёнигсбергер и Поль Дюбуа-Реймон, специалист по химической физике Густав Кирхгоф и физиолог Герман Гельмгольц.

Она также донимала химика и женоненавистника Вильгельма Бунзена просьбами разрешить ей и ее подруге Юлии Лермонтовой работать в его лаборатории, куда, как он когда-то поклялся, не должна была ступить нога ни одной женщины, тем более русской. «А теперь эта женщина заставила меня взять свои слова обратно», — жаловался он Вейерштрассу и в отместку распускал о Софье скандальные слухи. Его коллеги, напротив, с энтузиазмом встретили талантливую студентку, а газеты время от времени печатали о ней статьи. Ковалевская, не позволив обрушившемуся на нее вниманию вскружить ей голову, сосредоточилась на занятиях.

Ковалевские съездили в Англию, Францию, Германию и Италию. Владимир лично познакомился с Чарльзом Дарвином и Томасом Гексли, с которым заочно был знаком раньше. Софья, воспользовавшись своими связями, сумела встретиться с романисткой Джордж Элиот. В дневнике за 5 октября 1869 г. Элиот записала: «В воскресенье нас навещала интересная русская пара — месье и мадам Ковалевские: она очень хорошенькая, с приятным сдержанным голосом и речью, изучает математику… в Гейдельберге; он, любезный и умный, изучает, судя по всему, практические науки — особенно геологию». Философ и социал-дарвинист Герберт Спенсер, также присутствовавший в собрании, грубо заявил об интеллектуальной ущербности женщин. Ковалевская спорила с ним три часа, и Элиот отметила, что она «защищала наше общее дело достойно и храбро».

***

В 1870 г. Ковалевская переехала в Берлин, надеясь учиться там у Вейерштрасса. Услышав, что он отрицательно относится к образованию для женщин, она надела на встречу с ним шляпку, которая приличествовала бы скорее пожилой женщине и в значительной степени скрывала лицо. Вейерштрасс был удивлен, когда Софья попросила разрешения учиться у него, но ответил вежливо и предложил ей несколько задач, которые она должна была решить и принести ему. Ковалевская вернулась через неделю; все задачи были решены, причем часто оригинальными методами. Вейерштрасс позже сказал, что у нее был «дар интуитивного гения». Сенат университета отказал Ковалевской в возможности учиться официально, поэтому Вейерштрасс предложил ей заниматься частным образом.

Между ними началась переписка, которая затем не прерывалась до смерти Ковалевской.

Анюта к тому времени жила в Париже с молодым марксистом Виктором Жакларом. В 1871 г. Национальная гвардия провозгласила Парижскую коммуну — радикальное социалистическое правительство, которое ненадолго взяло на себя управление городом. Ленин позже сказал, что это была первая попытка пролетарской революции разбить буржуазную государственную машину.

Но государственная машина не хотела, чтобы ее разбивали. Софья услышала, что Жаклара могут арестовать за его политическую деятельность, и Ковалевские направились в Париж. Когда Версальское правительство начало обстреливать Коммуну из пушек, Софья и Анюта ухаживали за ранеными. Затем Ковалевские вернулись в Берлин, но, когда Париж пал и Жаклар был арестован, они вернулись, чтобы помочь Анюте и вывезти ее благополучно в Лондон, где ей помогал также Карл Маркс. Генерал Корвин-Круковский с женой отправился в Париж, чтобы содействовать освобождению Жаклара. Они не смогли добиться официального его освобождения, но из случайного разговора узнали, что Жаклара переводят в другую тюрьму. Когда заключенных вели сквозь толпу, какая-то женщина схватила Жаклара за руку, вытащила из колонны и увела прочь. Некоторые считают, что это была Анюта (хотя она в то время уже была в Лондоне), другие — что Ковалевская, третьи — что сестра Жаклара; кое-кто думает, что это был загримированный Владимир. Жаклар бежал; Владимир дал ему свой паспорт, по которому тот и уехал в Швейцарию. С той поры, занимаясь своей любимой математикой, Ковалевская не пренебрегала и участием в политических и социальных движениях.

Вернувшись в Берлин, она с энтузиазмом погрузилась в исследования. Работа шла хорошо, а вот с браком возникли проблемы. Супруги постоянно ссорились, Владимир начал хмуро поговаривать о разводе. К 1874 г. Ковалевская написала по результатам своих исследований три статьи, каждая из которых вполне могла бы принести автору заслуженную докторскую степень. Особенно важной была первая из них: Шарль Эрмит назвал ее «первым значительным результатом в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных». Во второй статье речь шла о динамике колец Сатурна, а третья была чисто технической и посвящена упрощению интегралов.

Дифференциальное уравнение в частных производных устанавливает связь между скоростями изменения некоторой величины и несколькими различными переменными.

К примеру, уравнение теплопроводности Фурье устанавливает связь между изменениями температуры в пространственных координатах — вдоль стержня — и тем, как ее величина в каждой конкретной точке изменяется во времени. Прием, примененный Фурье для решения этого уравнения при помощи тригонометрического ряда, основан на одном специфическом свойстве: его уравнение линейно, поэтому решения можно складывать друг с другом, получая при этом новые решения. В работе 1875 г. Ковалевская доказывает существование решений для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных при выполнении некоторых технических условий.

Эта работа расширила результат Коши 1842 г., и теперь объединенная версия того и другого называется теоремой Коши — Ковалевской.

Рекомендуем по этой теме:

Главы | Софья Ковалевская

Главы | Планета, поглотившая своих детей

Отрывок из книги математика Иэна Стюарта об открытии Сатурна, составе колец этой планеты и миссии «Вояджеров»

Статья, посвященная кольцам Сатурна, была написана Ковалевской в период ее работы с Вейерштрассом, но тема его не интересовала, и все исследования она проводила самостоятельно. Софья изучала динамику вращающихся колец жидкости, которые, по предположению Лапласа, могли служить моделью колец Сатурна. Проанализировав стабильность колец в этой модели, она показала, что они не могут быть эллиптическими, как полагал Лаплас, а должны иметь яйцеобразную форму, то есть быть широкими с одного конца и более узкими с другого. Эта работа интересна примененными методами и была бы еще интереснее, если бы содержала все необходимые доказательства, но вскоре стало известно, что кольца Сатурна состоят из бесчисленных дискретных частиц, так что жидкая модель, лежавшая в основе исследования, потеряла актуальность и стала сомнительной. Сама Ковалевская писала: «Благодаря исследованиям Максвелла приемлемость представлений Лапласа о структуре колец Сатурна стала вызывать сомнения».

Теперь пришел черед вечной проблемы академической политики. Для получения докторской степени статьи следовало представить в университет — и это должно было быть одно из тех редких заведений, которые готовы присвоить женщине степень доктора наук. Вейерштрасс обратился в Гёттингенский университет, который иногда давал докторскую степень иностранцам без обычной процедуры формальной защиты диссертации: в противном случае она должна была бы проходить на немецком языке. Ковалевская получила степень доктора философии по математике summa cum laude (с отличием), став первой женщиной после Марии Аньези в Италии эпохи Возрождения, получившей докторскую степень по математике, и одной из очень немногих женщин, сумевших получить степень доктора хоть каких-нибудь наук.

Так Ковалевская стала полноправным математиком.

***

В 1874 г. Ковалевские вернулись в Россию — сначала в фамильное имение в Полибино, а оттуда в Санкт-Петербург в поисках работы, связанной с наукой или преподаванием. Никакой работы им найти не удалось. Немецкий диплом Ковалевской ничего здесь не стоил: для работы требовался российский, однако она как женщина не имела права держать соответствующий экзамен. Отчаявшись найти работу, Ковалевские, чтобы свести концы с концами, попытались начать собственное дело; быстро выяснилось, что это было катастрофическое решение. В 1875 г. умер отец Софьи; полученного наследства в 30 000 рублей хватило бы супругам на скромную жизнь, если бы они разумно ими пользовались. Вместо этого они вложили деньги в проект с недвижимостью. Первоначально казалось, что проект будет успешным, и Ковалевские переехали в новый дом с садом, огородом и коровой. (Собственная корова в богатых семьях среднего класса в России была обычным делом.) У них родилась дочь, тоже Софья. Владимир вложил крупные деньги в издание радикальной газеты — и в конечном итоге потерял 20 000 рублей, когда газета закрылась. Еще через несколько месяцев рухнул и проект с недвижимостью. Оказалось, что Владимир покупал землю под сомнительные будущие доходы, и, когда кредиторы потребовали возврата долга, его империя недвижимости оказалась всего лишь фантазией.

В 1878 г. Ковалевская возобновила контакт с Вейерштрассом и воспользовалась его советом — исследовать преломление света в кристалле. В 1879 г. на 6-м конгрессе естествоиспытателей она прочла лекцию о своих давних исследованиях, посвященных абелевым интегралам. В 1881 г. они с дочерью вновь приехали в Берлин, где Вейерштрасс к этому времени подыскал им квартиру. С финансами у Владимира становилось все хуже и хуже, в счет долга было продано даже имущество супругов. В 1883 г., страдая от резких перепадов настроения и оказавшись перед лицом вероятного судебного преследования за роль, которую сыграл в финансовом мошенничестве, Ковалевский покончил с собой, выпив бутылку хлороформа. Софья, узнав об этом, испытала острое чувство вины; пять дней она ничего не ела, а затем упала в обморок. После того как врач силой накормил ее, Софья пришла в себя и постепенно с головой погрузилась в работу, завершив свою теорию преломления света в кристалле.

Она вернулась в Москву, чтобы привести в порядок дела Владимира, и представила свое исследование о преломлении света на 7-м конгрессе естествоиспытателей.

Смерть мужа устранила основное препятствие, стоявшее между Ковалевской и каким-либо академическим постом, на котором предпочитали видеть вдову, а не независимую (то есть состоятельную) или замужнюю женщину.

Ковалевская была знакома с ведущим шведским математиком Йостой Миттаг-Леффлером через его сестру Анну Шарлотту Эдгрен-Леффлер — революционерку, актрису, писательницу и драматурга. Их дружба продолжалась вплоть до смерти Ковалевской. Миттаг-Леффлер, впечатленный исследованием Софьи на тему абелевых интегралов, выговорил для нее место в Стокгольмском университете — место временное и с определенными условиями, но тем не менее настоящий академический пост. Ковалевская стала единственной женщиной в Европе, занимающей такое положение. В Стокгольм она приехала в самом конце 1883 г. Она знала, что работа будет нелегкой и ей придется постоянно сражаться с предрассудками, но одна из прогрессивных газет назвала ее «принцессой науки», и это внушало оптимизм. Хотя она все же заметила, что жалованье могло быть и получше.

В Стокгольме расцвели и литературные способности Софьи Ковалевской. В соавторстве с Эдгрен-Леффлер она написала две пьесы: «Борьба за счастье» и «Как могло быть».

Рекомендуем по этой теме:

Главы | Софья Ковалевская

Моделирование неопределенности

Специалист по Computer Science Анатолий Гершман об истории исследования неопределенности и о том, почему компаниям стоит отказаться от иллюзии детерминизма

Кроме того, она занялась крупной классической задачей механики: вращением твердого тела относительно фиксированной точки. Здесь она сделала совершенно неожиданное открытие — обнаружила новый тип решения, известный сегодня как волчок Ковалевской. Череда хитроумных академо-политических переговоров и взаимных уступок превратила ее неоплачиваемую позицию в должность экстраординарного профессора, которую через пять лет можно было перевести в категорию постоянных. Теперь ей хватало на жизнь — едва-едва, и она начала потихоньку выплачивать долги мужа. Ковалевская стала своеобразной местной знаменитостью, что побудило Берлинский университет разрешить ей посещать лекции в любом прусском университете. Софья вновь отправилась в Россию, затем в Берлин, затем вернулась в Швецию. Помимо прочего она (опять же, первой из женщин) вошла в редакционный совет журнала Acta Mathematica.

События развивались своим чередом; Эрмит убедил совет конкурса при Парижской академии выставить на конкурс задачу, которая прекрасно укладывалась в область ее интересов, и мало кто из причастных сомневался, что Ковалевская выиграет. В 1888 г. ее действительно признали победительницей за работу о вращении твердого тела.

По мере того как росла репутация Софьи Ковалевской как крупного математика-исследователя, старые барьеры начинали рушиться. В 1889 г. она была назначена ординарным профессором Стокгольмского университета, а это уже хорошо оплачиваемый пожизненный пост. Она стала первой женщиной в университете Северной Европы, получившей такой пост. После многочисленных выступлений в ее защиту Ковалевская была избрана в Российскую академию наук. Чтобы ее можно было избрать, профильному комитету пришлось сначала проголосовать за изменение правил и разрешить прием в Академию женщин; через три дня после этого избрали Ковалевскую.

Софья Ковалевская написала несколько нематематических работ, включая «Русское детство», пьесы, написанные совместно с Анной Шарлоттой, и отчасти автобиографический роман «Нигилистка» (1890 г.). Она умерла от гриппа в 1891 г.

***

Неожиданное открытие Ковалевской — новое решение задачи о вращении твердого тела — стало серьезным вкладом в механику, науку о том, как частицы и тела ведут себя под действием сил. Типичные примеры изучаемых процессов — качание маятника, вращение волчка и орбитальное движение какой-нибудь планеты вокруг Солнца.

Как мы видели в главе 7, механика взяла настоящий старт в 1687 г., когда Ньютон опубликовал свои законы движения. Второй закон Ньютона особенно важен, потому что говорит нам, как тело движется под влиянием известных сил: масса, умноженная на ускорение, равна силе. Этот закон косвенным образом определяет положение тела через скорость изменения скорости изменения положения; возникает дифференциальное уравнение «второго порядка».

Если нам повезет, мы сможем решить это уравнение, получив формулу для положения тела в любой заданный момент времени. Если так, наше уравнение интегрируемо.

Многие ранние работы в механике сводятся, по существу, к поиску систем, которые моделируются интегрируемыми уравнениями. Но даже для очень простых систем это может оказаться трудной задачей. Маятник — одна из простейших механических систем, существующих на свете, и он действительно оказывается интегрируемым; но даже в этой простейшей системе точная формула решения задействует эллиптические функции.

Для начала скажем, что интегрируемые случаи были открыты методом проб и ошибок. По мере того как математики набирались опыта, они начинали выявлять кое-какие общие принципы. Самые известные из них — законы сохранения, в которых обозначены сохраняющиеся величины, то есть величины, которые не меняются в процессе движения. Самая знакомая из этих величин — энергия.

При отсутствии трения полная энергия механической системы остается постоянной. Еще сохраняются импульс и момент импульса. Если сохраняющихся величин достаточно, ими можно воспользоваться, чтобы вывести решение, — и тогда система интегрируема. Исторически сложилось, что интегрируемые случаи движения твердого тела называют «волчками».

До Ковалевской было известно два интегрируемых волчка. Один из них — волчок Эйлера, твердое тело, не подверженное действию внешних закручивающих сил (моментов кручения). Второй — волчок Лагранжа, вращающийся вокруг своей оси на плоской горизонтальной поверхности с вертикально действующей силой тяжести.

Рекомендуем по этой теме:

Главы | Софья Ковалевская

Облака Кордылевского

Случайный космический объект №4: неуловимые облака в системе Земля — Луна

Лагранж открыл, что эта система интегрируема, если волчок обладает симметрией вращения. Ключевой аспект в обоих случаях — моменты инерции волчка; это говорит о том, какой момент кручения (закручивающая сила) необходим для того, чтобы увеличить угловую скорость вращения волчка вокруг заданной оси на заданную величину. У любого твердого тела имеется три особых момента инерции, которые считают определяющими. Во времена Софьи Ковалевской каждый математик, разбирающийся в механике, знал о волчках Эйлера и Лагранжа. Он знал также — или думал, что знает, — что эти волчки — единственные интегрируемые случаи, больше таких нет. Так что открытие третьего типа волчка, сделанное Ковалевской, стало для всех шоком. Более того, этот случай не полагался на симметрию — а математики уже поняли и начинали привыкать к тому, что симметрия помогает решать уравнения. Вместо этого в новом решении использовались загадочные свойства волчка, у которого один определяющий момент инерции вдвое меньше двух других. Мы теперь точно знаем, что больше интегрируемых случаев не существует.

Системы, которые не являются интегрируемыми, могут быть исследованы другими способами, к примеру при помощи численных приближений. Часто при этом системы демонстрируют детерминистический хаос: нерегулярное поведение, возникающее в результате действия неслучайных законов. Но даже сегодня физики, инженеры и математики испытывают большой интерес к интегрируемым системам: они легче для понимания и представляют собой редкие островки регулярности в океане хаоса. Исключительная природа таких случаев делает их особыми — и потому достойными подробного изучения. Волчок Ковалевской стал классикой математической физики.

Источник: https://postnauka.ru/longreads/91842